1. Phần bù đại số
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc ấy $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ với $M_ij$ là định thức cảm nhận từ định thức của ma trận $A$ bằng phương pháp bỏ đi chiếc $i$ với cột $j$ được gọi là phần bù đại số của bộ phận $a_ij.$
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$
Tính những phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$
Giải. Bạn đang xem: Toán cao cấp ma trận định thức
$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$
Công thức khai triển Laplace
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó
$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$
đây là cách làm khai triển định thức ma trận $A$ theo cái thứ $i.$
$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$
đây là bí quyết khai triển định thức ma trận $A$ theo cùng thứ $j.$
Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo cách làm khai triển mẫu 1.
Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong số đó
$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$
Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$
Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$
Giải. Để ý cái 3 của định thức gồm 2 phần tử bằng 0 đề xuất khai triển theo chiếc này đang chỉ bao gồm hai số hạng
Có
Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$
Giải. Để ý cột 1 tất cả 3 phần tử bằng 0 nên khai triển theo cột 1 ta có
Ví dụ 4: Tính định thức
Giải. Để ý cột 3 có thành phần đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho cho định thức theo cột 3
Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$
Giải. Có
Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc mẫu 4 của ma trận $A.$
Giải. Thay các thành phần ở cái 4 của ma trận A vì $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau với hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 như thể nhau.
Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$
Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$
Giải. Thay các phần tử ở loại 4 của ma trận A lần lượt bởi $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ bao gồm định thức bởi 0 vì tất cả hai cái giống nhau với hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các thành phần dòng 4 tương đương nhau
Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$
Ví dụ 8: Cho D là 1 trong những định thức cung cấp n có tất cả các bộ phận của một loại thứ i bằng 1. Chứng tỏ rằng:
Tổng các phần bù đại số của các bộ phận thuộc mỗi cái khác cái thứ i đều bằng 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của toàn bộ các thành phần của nó.Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$
Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$
3. Định thức của ma trận tam giác
Định thức của ma trận tam giác bởi tích các phần tử nằm trên đường chéo cánh chính
Thật vậy, so với ma trận tam giác trên triển khai theo cột 1 có:
đối cùng với ma trận tam giác dưới khai triển theo chiếc 1.
4. Tính định thức dựa trên các đặc thù định thức, công thức khai triển Laplace và thay đổi về ma trận tam giác
Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + công nhân + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$
Hiện trên forestcitymalaysias.com thi công 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:
Khoá học hỗ trợ đầy đủ kỹ năng và kiến thức và phương pháp giải bài bác tập các dạng toán đi kèm mỗi bài bác học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng tự luận gồm lời giải cụ thể tại website để giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc hẳn rằng kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học góp học viên ăn điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường gớm tế.
Sinh viên những trường ĐH sau đây có thể học được bộ combo này:
- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân
- ĐH nước ngoài Thương
- ĐH mến Mại
- học viện chuyên nghành Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế ĐH tổ quốc Hà Nội
và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH không giống trên khắp cả nước...
